अवकल समीकरण (x log x) frac{dy}{dx} + y = 2 lo | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ है। दोनों पक्षों को $(x \log x)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy

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$\log x$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ है। दोनों पक्षों को $(x \log x)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{2 \log x}{x \log x} = \frac{2}{x}$. यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \log x}$ और $Q = \frac{2}{x}$ है। समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx}$ द्वारा दिया जाता है। $I.F. = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx}$. माना $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} dx$ होगा। अतः,$\int \frac{1}{x \log x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log u = \log(\log x)$. इसलिए,$I.F. = e^{\log(\log x)} = \log x$.

अवकल समीकरण $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

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