જે અંતરાલમાં વિધેય $f(x) = \operatorname{Tan}^{-1}(\sin x + \cos x)$ વધતું વિધેય છે,તે અંતરાલ કયું છે?

$x \geq -2$ માટે $f(x) = \int_{-2}^{x} t \cdot g'(t) \, dt$ આપેલ છે,જ્યાં $g$ એ વધતું વિધેય છે,તો:

સાબિત કરો કે વિધેય $f(x)=x^{2}-x+1$ એ અંતરાલ $(-1,1)$ પર ચુસ્ત વધતું કે ઘટતું વિધેય નથી.

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી તમામ $x \in R$ માટે $f^{\prime\prime}(x) > 0$ અને $f^{\prime}(a-1) = 0$ છે, જ્યાં $a$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે. ધારો કે $g(x) = f(\tan^{2}x - 2\tan x + a)$, $0 < x < \frac{\pi}{2}$. નીચેના બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(I)$ $g$ એ $(0, \frac{\pi}{4})$ માં વધતું વિધેય છે.
$(II)$ $g$ એ $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ માં ઘટતું વિધેય છે.
તો,

ધારો કે $f(x) = \int e^x (x - 1)(x - 2) dx$. તો $f$ કયા અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય છે?

સમીકરણ $x^5+3x^3+4x+30=0$ ના વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા કેટલી છે?