वह न्यूनतम पूर्णांक $k$ जो समीकरण $x^2 + 5x + k = 0$ के मूलों को काल्पनिक बनाता है,है

मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $a x^2+b x+c=0$ के मूल हैं। नीचे दी गई सूचियों का अवलोकन करें:

सूची-$I$	सूची-$II$
$(i)$ $\alpha = \beta$	$(A)$ $(ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} + b = 0$
$(ii)$ $\alpha = 2\beta$	$(B)$ $2b^2 = 9ac$
$(iii)$ $\alpha = 3\beta$	$(C)$ $b^2 = 6ac$
$(iv)$ $\alpha = \beta^2$	$(D)$ $3b^2 = 16ac$
	$(E)$ $b^2 = 4ac$
	$(F)$ $(ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} = b$

सूची-$I$ का सूची-$II$ के साथ सही मिलान है:

समीकरण $|x|^2 - 3|x| + 2 = 0$ के वास्तविक हलों की संख्या है

मान लीजिए $R^2$,$R \times R$ को दर्शाता है। मान लीजिए $S = \{(a, b, c) : a, b, c \in R \text{ और } ax^2 + 2bxy + cy^2 > 0, \text{ सभी } (x, y) \in R^2 - \{(0, 0)\} \text{ के लिए }\}$। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A) (2, \frac{7}{2}, 6) \in S$
$(B) \text{यदि } (3, b, \frac{1}{12}) \in S, \text{ तो } |2b| < 1$
$(C) \text{किसी भी दिए गए } (a, b, c) \in S \text{ के लिए, रैखिक समीकरण निकाय } ax + by = 1, bx + cy = -1 \text{ का एक अद्वितीय हल है.}$
$(D) \text{किसी भी दिए गए } (a, b, c) \in S \text{ के लिए, रैखिक समीकरण निकाय } (a+1)x + by = 0, bx + (c+1)y = 0 \text{ का एक अद्वितीय हल है.}$

फलन $f(x) = 9x^{2} + 12x + 2$ के लिए अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

समीकरण $\frac{p + q - x}{r} + \frac{q + r - x}{p} + \frac{r + p - x}{q} + \frac{3x}{p + q + r} = 0$ का हल है