રેખા $12 x \cos \theta + 5 y \sin \theta = 60$ નીચેનામાંથી કયા વક્રને સ્પર્શક છે?

બે ઉપવલયોના સમીકરણો $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ અને $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{b^2}=1$ છે. જો તેમની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $\frac{\sqrt{2}}{3}$ હોય,તો બીજા ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈનો ગુણાકાર $\qquad$ છે.

વક્ર $2x^2+y^2=2x$ થી બિંદુ $(a, 0)$ નું મહત્તમ અંતર કેટલું છે?

એક ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $6$ એકમ છે અને નાભિ તથા તેના મુખ્ય અક્ષ પરના નજીકના શિરોબિંદુ વચ્ચેનું અંતર $\frac{5}{3}$ એકમ છે. જો $e$ એ આ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો $e$ નીચેનામાંથી કયા સમીકરણનું સમાધાન કરે છે?

ધારો કે ઉપવલય $E_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ અને $E_2: \frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1, A < B$ ની ઉત્કેન્દ્રતા સમાન $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે. જો તેમના નાભિલંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $\frac{32}{\sqrt{3}}$ હોય,અને $E_1$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $4$ હોય. જો $E_1$ અને $E_2$ એ $A, B, C$ અને $D$ માં મળે,તો ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

એક ઉપવલયની મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષો અનુક્રમે $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ પર છે. જો તેના નાભિલંબની લંબાઈ $4$ હોય અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $4 \sqrt{2}$ હોય,તો તે ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.