રેખા $x=m^2$ એ ઉપવલય $9x^2+y^2=9$ ને વાસ્તવિક અને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે જો અને માત્ર જો

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $1$ હોય,તો ઉપવલયની પ્રધાન અક્ષ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈનો સરવાળો કેટલો થાય?

$x+y+2=0$ ને નિયામિકા (directrix),$(1,-1)$ ને નાભિ (focus) અને $\frac{2}{3}$ ઉત્કેન્દ્રિયતા (eccentricity) ધરાવતા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો.

જો $\frac{\pi}{3}$ અને $\theta$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ ની નાભિસ્થ જીવાના અંત્યબિંદુઓના ઉત્કેન્દ્રિય ખૂણા હોય,તો $\tan \theta=$

રેખા $y=x+\lambda$ એ ઉપવલય $2x^{2}+3y^{2}=1$ ને સ્પર્શક છે. તો, $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ પરના બિંદુ $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ ના નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર $\frac{7}{4}$ છે. તો આવા બે ઉપવલયોની ઉત્કેન્દ્રતાનો તફાવત (absolute difference) કેટલો થાય?