રેખાઓ x cos alpha + y sin alpha = P, alpha in | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ અને અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ ના છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓનું સમીકરણ અતિવલય

Vedclass · Accepted Answer

$16x^2 + y^2 = 108$

Vedclass · Answer

(C) રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ અને અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ ના છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓનું સમીકરણ અતિવલયના સમીકરણને સમઘાત બનાવીને મેળવી શકાય છે: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = (\frac{x \cos \alpha + y \sin \alpha}{P})^2$. આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2(\frac{1}{9} - \frac{\cos^2 \alpha}{P^2}) + y^2(-\frac{1}{36} - \frac{\sin^2 \alpha}{P^2}) - \frac{2xy \cos \alpha \sin \alpha}{P^2} = 0$ મળે છે. રેખાઓ ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ: $(\frac{1}{9} - \frac{\cos^2 \alpha}{P^2}) + (-\frac{1}{36} - \frac{\sin^2 \alpha}{P^2}) = 0$. આ સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{12} - \frac{1}{P^2} = 0$ મળે,તેથી $P^2 = 12$. અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ માટે બિંદુ $(h, k)$ નો ધ્રુવ $\frac{xh}{9} - \frac{yk}{36} = 1$ છે. આને $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ સાથે સરખાવતા,$\frac{h/9}{\cos \alpha} = \frac{-k/36}{\sin \alpha} = \frac{1}{P}$ મળે. તેથી,$\cos \alpha = \frac{Ph}{9}$ અને $\sin \alpha = -\frac{Pk}{36}$. $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{P^2 h^2}{81} + \frac{P^2 k^2}{1296} = 1$ મળે છે. $P^2 = 12$ મૂકતા,$\frac{12h^2}{81} + \frac{12k^2}{1296} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{4h^2}{27} + \frac{k^2}{108} = 1$ થાય છે. $108$ વડે ગુણતા,$16h^2 + k^2 = 108$ મળે છે. $(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $16x^2 + y^2 = 108$ છે.

Similar Questions

વર્તુળ $x^2 + y^2 = 7$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(1, 2)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ શું છે?

જો $2kx + 3y - 1 = 0$ અને $2x + y + 5 = 0$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી રેખાઓ હોય,તો $k =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module