रेखाएँ x cos alpha + y sin alpha = P, alpha i | vedclass

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Question

(C) रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओ

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$16x^2 + y^2 = 108$

Vedclass · Answer

(C) रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं का समीकरण अतिपरवलय के समीकरण को समघात बनाकर प्राप्त किया जा सकता है: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = (\frac{x \cos \alpha + y \sin \alpha}{P})^2$. इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2(\frac{1}{9} - \frac{\cos^2 \alpha}{P^2}) + y^2(-\frac{1}{36} - \frac{\sin^2 \alpha}{P^2}) - \frac{2xy \cos \alpha \sin \alpha}{P^2} = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि रेखाएँ मूल बिंदु पर समकोण अंतरित करती हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए: $(\frac{1}{9} - \frac{\cos^2 \alpha}{P^2}) + (-\frac{1}{36} - \frac{\sin^2 \alpha}{P^2}) = 0$. यह सरल होकर $\frac{1}{12} - \frac{1}{P^2} = 0$ हो जाता है,इसलिए $P^2 = 12$. अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ के सापेक्ष बिंदु $(h, k)$ का ध्रुव $\frac{xh}{9} - \frac{yk}{36} = 1$ है। इसकी तुलना $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ से करने पर,हमें $\frac{h/9}{\cos \alpha} = \frac{-k/36}{\sin \alpha} = \frac{1}{P}$ प्राप्त होता है। अतः,$\cos \alpha = \frac{Ph}{9}$ और $\sin \alpha = -\frac{Pk}{36}$. $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{P^2 h^2}{81} + \frac{P^2 k^2}{1296} = 1$ प्राप्त होता है। $P^2 = 12$ रखने पर,$\frac{12h^2}{81} + \frac{12k^2}{1296} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{4h^2}{27} + \frac{k^2}{108} = 1$ हो जाता है। $108$ से गुणा करने पर,$16h^2 + k^2 = 108$ प्राप्त होता है। $(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $16x^2 + y^2 = 108$ है।

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