રેખાઓ $x = ay + b, z = cy + d$ અને $x = a'y + b', z = c'y + d'$ એકબીજાને લંબ હોય,જો

બિંદુ $(2, -1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ તથા $-\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ બિંદુઓને જોડતી રેખાને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ શોધો.

બિંદુ $(0,1,2)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{-2}$ ને લંબ હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ શોધો.

રેખાઓ $r = (3t - 4)\hat{i} - 2\hat{j} - (1 + 2t)\hat{k}$ અને $r = (6 + s)\hat{i} + (2 - 2s)\hat{j} + 2(1 + s)\hat{k}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો.

બિંદુ $({x_1}, {y_1}, {z_1})$ નું રેખા $\frac{{x - {x_2}}}{l} = \frac{{y - {y_2}}}{m} = \frac{{z - {z_2}}}{n}$ થી અંતર,જ્યાં $l, m, n$ એ રેખાના દિક્કોસાઇન છે,તે નીચે મુજબ છે:

રેખા $L_1$ બિંદુ $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને $z$-અક્ષને સમાંતર છે. રેખા $L_2$ બિંદુ $(\lambda, 5, 6)$ માંથી પસાર થાય છે અને $y$-અક્ષને સમાંતર છે. ધારો કે $\lambda = \lambda_1, \lambda_2$ માટે,જ્યાં $\lambda_2 < \lambda_1$,બે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $3$ છે. તો બિંદુ $(\lambda_1, \lambda_2, 7)$ નું રેખા $L_1$ થી અંતરનો વર્ગ શોધો.