અતિવલય $x^{2}-y^{2}=4$ ની જીવાઓના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ,જે પરવલય $y^{2}=8x$ ને સ્પર્શે છે,તે છે:

$20$ એકમ લંબાઈનો એક સળિયો તેના છેડાઓ કાટખૂણે રહેલી બે નિશ્ચિત સીધી રેખાઓ પર ગતિ કરે છે. સળિયા પર એક છેડાથી $8$ એકમ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ દ્વારા બનતા શંકુ આકારની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી છે?

સ્તંભ-$I$ ના શાંકવોને સ્તંભ-$II$ ના વિધાનો/પદાવલીઓ સાથે જોડો.

સ્તંભ-$I$	સ્તંભ-$II$
$A$. વર્તુળ	$P$. બિંદુ $(h, k)$ નું બિંદુપથ જેના માટે રેખા $hx + ky = 1$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ ને સ્પર્શે છે
$B$. પરવલય	$Q$. સંકર સમતલમાં બિંદુ $z$ એ $|z + 2| - |z - 2| = \pm 3$ નું પાલન કરે છે
$C$. અતિવલય	$R$. શાંકવની ઉત્કેન્દ્રતા અંતરાલ $[1, \infty)$ માં છે
	$S$. સંકર સમતલમાં બિંદુ $z$ એ $Re(z + 1)^2 = |z|^2 + 1$ નું પાલન કરે છે

ધારો કે $e_1$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા છે અને $e_2$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b$ ની ઉત્કેન્દ્રતા છે,જે અતિવલયના નાભિઓમાંથી પસાર થાય છે. જો $e_1 e_2=1$ હોય,તો $x$-અક્ષને સમાંતર અને $(0,2)$ માંથી પસાર થતી ઉપવલયની જીવાની લંબાઈ શોધો:

શંકુ $\frac{5}{r}=2+3 \cos \theta+4 \sin \theta$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

અતિવલય $H : x^{2} - y^{2} = 1$ અને ઉપવલય $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ માટે જ્યાં $a > b > 0$,ધારો કે $(1)$ $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત છે,અને $(2)$ રેખા $y = \sqrt{\frac{5}{2}} x + K$ એ $E$ અને $H$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે. તો $4(a^{2} + b^{2})$ ની કિંમત શોધો: