दीर्घवृत्त x^2+2y^2=2 पर खींची गई स्पर्श रेखा | vedclass

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Question

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+2y^2=2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2=2$ और $b^2=1$ है,इसलिए $a

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$\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{4y^2}=1$

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(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+2y^2=2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2=2$ और $b^2=1$ है,इसलिए $a=\sqrt{2}$ और $b=1$ है।बिंदु $P(a \cos 	heta, b \sin 	heta)$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos 	heta}{a} + \frac{y \sin 	heta}{b} = 1$ है।मान रखने पर,हमें $\frac{x \cos 	heta}{\sqrt{2}} + y \sin 	heta = 1$ प्राप्त होता है।$x$-अंतःखंड $(A)$ के लिए,$y=0$ रखें: $\frac{x \cos 	heta}{\sqrt{2}} = 1 \Rightarrow x = \sqrt{2} \sec 	heta$. अतः,$A = (\sqrt{2} \sec 	heta, 0)$.$y$-अंतःखंड $(B)$ के लिए,$x=0$ रखें: $y \sin 	heta = 1 \Rightarrow y = \operatorname{cosec} 	heta$. अतः,$B = (0, \operatorname{cosec} 	heta)$.माना $M(h, k)$ रेखा $AB$ का मध्य बिंदु है। तब:$h = \frac{\sqrt{2} \sec 	heta + 0}{2} = \frac{\sec 	heta}{\sqrt{2}} \Rightarrow \sec 	heta = \sqrt{2}h$$k = \frac{0 + \operatorname{cosec} 	heta}{2} = \frac{\operatorname{cosec} 	heta}{2} \Rightarrow \operatorname{cosec} 	heta = 2k$हम जानते हैं कि $\cos^2 	heta + \sin^2 	heta = 1$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{\sec^2 	heta} + \frac{1}{\operatorname{cosec}^2 	heta} = 1$.$\sec 	heta$ और $\operatorname{cosec} 	heta$ के मान रखने पर:$\frac{1}{(\sqrt{2}h)^2} + \frac{1}{(2k)^2} = 1$$\frac{1}{2h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ प्राप्त होता है।

$List-I$	$List-II$
$(I)$ यदि $\phi=\frac{\pi}{4}$ है,तो त्रिभुज $FGH$ का क्षेत्रफल है	$(P) \frac{(\sqrt{3}-1)^4}{8}$
$(II)$ यदि $\phi=\frac{\pi}{3}$ है,तो त्रिभुज $FGH$ का क्षेत्रफल है	$(Q) 1$
$(III)$ यदि $\phi=\frac{\pi}{6}$ है,तो त्रिभुज $FGH$ का क्षेत्रफल है	$(R) \frac{3}{4}$
$(IV)$ यदि $\phi=\frac{\pi}{12}$ है,तो त्रिभुज $FGH$ का क्षेत्रफल है	$(S) \frac{1}{2\sqrt{3}}$
	$(T) \frac{3\sqrt{3}}{2}$

दीर्घवृत्त $x^2+2y^2=2$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्देशांक अक्षों पर कटे हुए भाग के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ है

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