frac{log x}{x}, 0

Question

(D) माना $f(x) = \frac{\log x}{x}$.अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:$f'(x) = \frac{

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$e^{-1}$

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(D) माना $f(x) = \frac{\log x}{x}$.अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.क्रांतिक बिंदुओं (critical points) को खोजने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:$1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.अब, बिंदु की प्रकृति की पुष्टि करने के लिए हम द्वितीय अवकलज $f''(x)$ की जाँच करते हैं:$f''(x) = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2 \log x - 3}{x^3}$.$x = e$ पर, $f''(e) = \frac{2(1) - 3}{e^3} = -\frac{1}{e^3} चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है, इसलिए फलन का $x = e$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।अधिकतम मान $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ है।

$\frac{\log x}{x}, 0 < x < \infty$ का अधिकतम मान क्या है?

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