હેતુલક્ષી વિધેય $z=4x+6y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો,જે શરતો $3x+2y \leq 12$,$x+y \geq 4$,$x, y \geq 0$ ને આધીન છે.

બે પ્રકારના ખાતર $F_{1}$ અને $F_{2}$ છે. $F_{1}$ માં $10\%$ નાઈટ્રોજન અને $6\%$ ફોસ્ફોરિક એસિડ છે અને $F_{2}$ માં $5\%$ નાઈટ્રોજન અને $10\%$ ફોસ્ફોરિક એસિડ છે. જમીનની સ્થિતિ તપાસ્યા પછી,ખેડૂતને જાણવા મળે છે કે તેને તેના પાક માટે ઓછામાં ઓછા $14\,kg$ નાઈટ્રોજન અને $14\,kg$ ફોસ્ફોરિક એસિડની જરૂર છે. જો $F_{1}$ ની કિંમત $Rs\,6/kg$ અને $F_{2}$ ની કિંમત $Rs\,5/kg$ હોય,તો ન્યૂનતમ ખર્ચે પોષક તત્વોની જરૂરિયાત પૂરી કરવા માટે દરેક પ્રકારના ખાતરનો કેટલો ઉપયોગ કરવો જોઈએ તે નક્કી કરો. ન્યૂનતમ ખર્ચ કેટલો છે?

શરતો $2x + 3y \leq 18$,$2x + y \leq 10$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ ને આધીન $z = 9x + 13y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

સુરેખ આયોજનના પ્રશ્નમાં સુસંગત પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(0, 10)$, $(5, 5)$, $(15, 15)$ અને $(0, 20)$ છે. ધારો કે $z = px + qy$ જ્યાં $p, q > 0$ છે. $p$ અને $q$ વચ્ચેનો એવો સંબંધ શોધો કે જેથી $z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(15, 15)$ અને $(0, 20)$ બંને બિંદુઓ પર મળે.

એક ઉત્પાદન કંપની ઉત્પાદનના બે મોડેલ $A$ અને $B$ બનાવે છે. મોડેલ $A$ ના દરેક નંગ માટે ફેબ્રિકેશન માટે $9$ કલાક અને ફિનિશિંગ માટે $1$ કલાકની જરૂર પડે છે. મોડેલ $B$ ના દરેક નંગ માટે ફેબ્રિકેશન માટે $12$ કલાક અને ફિનિશિંગ માટે $3$ કલાકની જરૂર પડે છે. ફેબ્રિકેશન અને ફિનિશિંગ માટે ઉપલબ્ધ મહત્તમ કલાકો અનુક્રમે $180$ અને $30$ છે. કંપની મોડેલ $A$ ના દરેક નંગ પર રૂ. $8000$ અને મોડેલ $B$ ના દરેક નંગ પર રૂ. $12000$ નો નફો મેળવે છે. મહત્તમ નફો મેળવવા માટે દર અઠવાડિયે મોડેલ $A$ અને મોડેલ $B$ ના કેટલા નંગનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ? દર અઠવાડિયે મહત્તમ નફો કેટલો છે?

નીચેની આકૃતિમાં, છાયાંકિત પ્રદેશ અવરોધો (constraints) ની સિસ્ટમને દર્શાવે છે: