एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) का अधिकतम आयतन (घन इकाइयों में) क्या होगा, जिसके सह-आश्रित किनारे सदिश $\vec{u} = 2a\hat{i} + \hat{k}$, $\vec{v} = a\hat{j} - a\hat{k}$, और $\vec{w} = 3\hat{i} + a\hat{j}$ हैं, जहाँ $a \in [0, 1]$ है?

यदि $x, y$ और $z$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं और $\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}, \vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$ तथा $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ इस प्रकार हैं कि $\vec{a} \times \vec{b}=z \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$, तो $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ असमतलीय सदिश हैं और $p, q$ वास्तविक संख्याएँ हैं,तो समानता $[3\vec{u}, p\vec{v}, p\vec{w}] - [p\vec{v}, \vec{w}, q\vec{u}] - [2\vec{w}, q\vec{v}, q\vec{u}] = 0$ किसके लिए सत्य है?

$(a+b) \cdot(b+c) \times(a+b+c)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S$ उन सभी $(\lambda, \mu)$ का समुच्चय है जिनके लिए सदिश $\lambda \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{i} + 2\hat{j} + \mu \hat{k}$ और $3\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$,जहाँ $\lambda - \mu = 5$,समतलीय हैं,तो $\sum_{(\lambda, \mu) \in S} 80(\lambda^2 + \mu^2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\overline{a}, \overline{b}$ और $\overline{c}$ इकाई समतलीय सदिश हैं,तो अदिश त्रिगुणित गुणनफल $[2 \overline{a}-\overline{b}, 2 \overline{b}-\overline{c}, 2 \overline{c}-\overline{a}]$ का मान क्या होगा?