$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली पृथ्वी की सतह से $m$ द्रव्यमान के उपग्रह को पृथ्वी की सतह से $2R$ की ऊँचाई पर वृत्ताकार कक्षा में प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा क्या है?

एक अंतरिक्ष यात्री $m$ द्रव्यमान की एक गेंद को पृथ्वी से अंतरिक्ष में ले जाता है। वह गेंद को पृथ्वी के चारों ओर $318.5 \ km$ की ऊंचाई पर एक वृत्ताकार कक्षा में फेंकता है। पृथ्वी की सतह से कक्षा तक,गेंद की कुल यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन $x \frac{GM_e m}{21 R_e}$ है। $x$ का मान ज्ञात कीजिए ($R_e = 6370 \ km$ लें)।

पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा कर रहे उपग्रह के लिए निम्नलिखित ग्राफ की प्रकृति दर्शाइए:
$(a)$ $KE$ बनाम कक्षीय त्रिज्या $R$
$(b)$ $PE$ बनाम कक्षीय त्रिज्या $R$
$(c)$ $TE$ बनाम कक्षीय त्रिज्या $R$

$m$ द्रव्यमान का एक कण $r$ त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में $F = -k/r^2$ के अभिकेंद्री बल के प्रभाव में गति करता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है। कण की कुल ऊर्जा की गणना कीजिए।

एक उपग्रह में,यदि परिक्रमण काल $T$ है,तो गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ किसके समानुपाती है?

यदि $R$ किसी उपग्रह की कक्षा की त्रिज्या है,तो उपग्रह की गतिज ऊर्जा है