दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{4}=1$ की स्पर्श रेखा द्वारा निर्देशांक अक्षों के बीच बने अंतःखंड की न्यूनतम लंबाई क्या है?

मान लीजिए $P$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ पर एक बिंदु है। मान लीजिए $P$ से गुजरने वाली और $y$-अक्ष के समानांतर रेखा वृत्त $x^2+y^2=9$ को बिंदु $Q$ पर इस प्रकार मिलती है कि $P$ और $Q$ $x$-अक्ष के एक ही तरफ हैं। तब,$PQ$ पर स्थित बिंदु $R$ के बिंदुपथ की उत्केंद्रता,जहाँ $PR:RQ=4:3$ है,जैसे-जैसे $P$ दीर्घवृत्त पर चलता है,क्या होगी:

एक दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभि $(-1, 1)$ है,जिसकी नियता $x - y + 3 = 0$ है और जिसकी उत्केन्द्रता $e = \frac{1}{2}$ है।

उस दीर्घवृत्त (ellipse) का प्राचलिक रूप (parametric form) क्या होगा जिसकी नाभियाँ $(-1, 0)$ और $(7, 0)$ हैं और उत्केंद्रता (eccentricity) $1/2$ है?

यदि $4x - 3y + k = 0$ दीर्घवृत्त $5x^{2} + 9y^{2} = 45$ को स्पर्श करती है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल . . . . . . वर्ग इकाई है।