x in [-1, 1] के लिए (sin^{-1} x)^2 + (cos^{-1 | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\cos^{-1} x)^2$ है। हम जानते हैं कि $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ होता है। इसे प्रतिस्थापित करने पर,

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$\frac{\pi^2}{8}$

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\cos^{-1} x)^2$ है। हम जानते हैं कि $\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ होता है। इसे प्रतिस्थापित करने पर, $f(x) = (\sin^{-1} x)^2 + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x)^2$। माना $u = \sin^{-1} x$ है। चूँकि $x \in [-1, 1]$, इसलिए $u \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है। $f(u) = u^2 + (\frac{\pi}{2} - u)^2 = u^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi u + u^2 = 2u^2 - \pi u + \frac{\pi^2}{4}$। यह ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है। न्यूनतम मान $u = -\frac{b}{2a} = -\frac{-\pi}{2(2)} = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है। चूँकि $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, न्यूनतम मान $f(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{4})^2 - \pi(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi^2}{4} = 2(\frac{\pi^2}{16}) - \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8}$ है।

$x \in [-1, 1]$ के लिए $(\sin^{-1} x)^2 + (\cos^{-1} x)^2$ का न्यूनतम मान है:

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