वृत्तों $x^2+y^2+4x=0$ और $x^2+y^2-2x=0$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं (common tangents) की संख्या है

माना $C_1$ मूल बिंदु पर केंद्र वाला $1$ त्रिज्या का वृत्त है। माना $C_2$ बिंदु $A=(4,1)$ पर केंद्र वाला $r$ त्रिज्या का वृत्त है,जहाँ $1 < r < 3$ है। $C_1$ और $C_2$ की दो अलग-अलग उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $PQ$ और $ST$ खींची गई हैं। स्पर्श रेखा $PQ$,$C_1$ को $P$ पर और $C_2$ को $Q$ पर स्पर्श करती है। स्पर्श रेखा $ST$,$C_1$ को $S$ पर और $C_2$ को $T$ पर स्पर्श करती है। रेखाखंड $PQ$ और $ST$ के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा $x$-अक्ष को बिंदु $B$ पर मिलती है। यदि $AB=\sqrt{5}$ है,तो $r^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

वृत्त $x^2 + y^2 + 4x + d = 0$ और $x^2 + y^2 + 4fy + d = 0$ एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं यदि:

यदि $S \equiv 2x^2+2y^2-8x+8y-7=0$ वह वृत्त है जो वृत्तों $x^2+y^2+kx-ky+1=0$ और $x^2+y^2-kx+ky-2=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर गुजरता है,तो बिंदु $(k, k)$ से वृत्त $S$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई है

कोई भी वृत्त रेखाओं $x + \sqrt{3}y = 1$ और $\sqrt{3}x - y = 2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है। यदि यह इन रेखाओं को बिंदुओं $P$ और $Q$ पर काटता है,तो चाप $PQ$ द्वारा इसके केंद्र पर अंतरित कोण ............ $^o$ है।

उस वृत्त का समीकरण जो मूल बिंदु से होकर गुजरता है और $x^2+y^2-6x+8=0$ तथा $x^2+y^2-2x-2y-7=0$ वृत्तों को लंबकोणीय काटता है,है