अंतराल -frac{pi}{4} leq x leq frac{pi}{4} में | vedclass

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Question

(C) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}\sin x & \cos x & \cos x \ \cos x & \sin x & \cos x \ \cos x & \cos x & \sin x\end{array}ight

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$1$

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(C) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}\sin x & \cos x & \cos x \ \cos x & \sin x & \cos x \ \cos x & \cos x & \sin x\end{array}ight|=0$. पंक्ति संक्रिया $R_1 	o R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर: $\left|\begin{array}{ccc}\sin x + 2\cos x & \sin x + 2\cos x & \sin x + 2\cos x \ \cos x & \sin x & \cos x \ \cos x & \cos x & \sin x\end{array}ight|=0$. $R_1$ से $(\sin x + 2\cos x)$ उभयनिष्ठ लेने पर: $(\sin x + 2\cos x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \ \cos x & \sin x & \cos x \ \cos x & \cos x & \sin x\end{array}ight|=0$. $C_2 	o C_2 - C_1$ और $C_3 	o C_3 - C_1$ लागू करने पर: $(\sin x + 2\cos x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \ \cos x & \sin x - \cos x & 0 \ \cos x & 0 & \sin x - \cos x\end{array}ight|=0$. $R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर: $(\sin x + 2\cos x)(\sin x - \cos x)^2 = 0$. इससे $	an x = 1$ या $	an x = -2$ प्राप्त होता है। अंतराल $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ के लिए, $	an x = 1$ से $x = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है। चूंकि $	an x = -2$ इस अंतराल में संभव नहीं है (क्योंकि $	an x \in [-1, 1]$), इसलिए एकमात्र हल $x = \frac{\pi}{4}$ है। अतः, भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या $1$ है।

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यदि $\Delta (x) = \left| \begin{array}{ccc} x^n & \sin x & \cos x \\ n! & \sin \frac{n\pi}{2} & \cos \frac{n\pi}{2} \\ a & a^2 & a^3 \end{array} \right|$ है,तो $x = 0$ पर $\frac{d^n}{dx^n}[\Delta (x)]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि ${D_p} = \begin{vmatrix} p & 15 & 8 \\ p^2 & 35 & 9 \\ p^3 & 25 & 10 \end{vmatrix}$ है,तो ${D_1} + {D_2} + {D_3} + {D_4} + {D_5} = $

यदि $y(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin x & \cos x & \sin x + \cos x + 1 \\ 27 & 28 & 27 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|$,$x \in R$,तो $\frac{d^2 y}{d x^2} + y$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}$ जहाँ $a = 7^x$,$b = 7^{7^x}$,$c = 7^{7^{7^x}}$ है,तो $\int |A| \, dx$ (जहाँ $|A|$ आव्यूह $A$ का सारणिक है) का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} x^3 & 2x^2+1 & 1+3x \\ 3x^2+2 & 2x & x^3+6 \\ x^3-x & 4 & x^2-2 \end{array}\right|$ सभी $x \in R$ के लिए है,तो $2f(0) + f'(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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