यदि Delta (x) = left| begin{array}{ccc} x^n & | vedclass

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Question

(B) हमें सारणिक $\Delta (x) = \left| \begin{array}{ccc} x^n & \sin x & \cos x \ n! & \sin \frac{n\pi}{2} & \cos \frac{n\pi}{2} \ a & a^2 & a^3 \end{

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$0$

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(B) हमें सारणिक $\Delta (x) = \left| \begin{array}{ccc} x^n & \sin x & \cos x \ n! & \sin \frac{n\pi}{2} & \cos \frac{n\pi}{2} \ a & a^2 & a^3 \end{array} ight|$ दिया गया है।सारणिक का $n$-वां अवकलज प्राप्त करने के लिए,हम पंक्तियों (या स्तंभों) का एक-एक करके अवकलन करते हैं। चूंकि केवल पहली पंक्ति में $x$ है,इसलिए हम पहली पंक्ति का $n$ बार अवकलन करेंगे।$\frac{d^n}{dx^n}[\Delta (x)] = \left| \begin{array}{ccc} \frac{d^n}{dx^n}(x^n) & \frac{d^n}{dx^n}(\sin x) & \frac{d^n}{dx^n}(\cos x) \ n! & \sin \frac{n\pi}{2} & \cos \frac{n\pi}{2} \ a & a^2 & a^3 \end{array} ight|$.हम जानते हैं कि $\frac{d^n}{dx^n}(x^n) = n!$,$\frac{d^n}{dx^n}(\sin x) = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$,और $\frac{d^n}{dx^n}(\cos x) = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$.इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\frac{d^n}{dx^n}[\Delta (x)] = \left| \begin{array}{ccc} n! & \sin(x + \frac{n\pi}{2}) & \cos(x + \frac{n\pi}{2}) \ n! & \sin \frac{n\pi}{2} & \cos \frac{n\pi}{2} \ a & a^2 & a^3 \end{array} ight|$.अब,$x = 0$ पर मान ज्ञात करने पर:$[\Delta^n(x)]_{x=0} = \left| \begin{array}{ccc} n! & \sin \frac{n\pi}{2} & \cos \frac{n\pi}{2} \ n! & \sin \frac{n\pi}{2} & \cos \frac{n\pi}{2} \ a & a^2 & a^3 \end{array} ight|$.चूंकि पहली पंक्ति $(R_1)$ और दूसरी पंक्ति $(R_2)$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

यदि $\Delta (x) = \left| \begin{array}{ccc} x^n & \sin x & \cos x \\ n! & \sin \frac{n\pi}{2} & \cos \frac{n\pi}{2} \\ a & a^2 & a^3 \end{array} \right|$ है,तो $x = 0$ पर $\frac{d^n}{dx^n}[\Delta (x)]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$A = \begin{bmatrix} 1 & x & x+1 \\ 2x & x^2-x & x^2+x \\ 3x(x-1) & x(x^2-3x+2) & x(x^2-1) \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) ज्ञात कीजिए।

यदि $A = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}$ जहाँ $a = 7^x$,$b = 7^{7^x}$,$c = 7^{7^{7^x}}$ है,तो $\int |A| \, dx$ (जहाँ $|A|$ आव्यूह $A$ का सारणिक है) का मान ज्ञात कीजिए।

यदि आव्यूह $A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha\end{array}\right]$ की कोटि (rank) $3$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\left| \begin{array}{ccc} 1 + ax & 1 + bx & 1 + cx \\ 1 + a_1x & 1 + b_1x & 1 + c_1x \\ 1 + a_2x & 1 + b_2x & 1 + c_2x \end{array} \right| = A_0 + A_1x + A_2x^2 + A_3x^3$ है,तो $A_1$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A = \begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix}$ और $B = \begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}$ है,तो $\frac{dB}{dx}$ क्या है?

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