જો $\Delta (x) = \left| \begin{array}{ccc} x^n & \sin x & \cos x \\ n! & \sin \frac{n\pi}{2} & \cos \frac{n\pi}{2} \\ a & a^2 & a^3 \end{array} \right|$ હોય,તો $x = 0$ આગળ $\frac{d^n}{dx^n}[\Delta (x)]$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & 1 & 0 \\ 0 & 2 \cos x & 3 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$ હોય,તો $\lim_{x \rightarrow \pi} f(x)$ ની કિંમત શોધો.

જો બિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ સમરેખ હોય,તો શ્રેણિક $\begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix}$ નો ક્રમાંક (rank) હંમેશા કોના કરતા ઓછો હશે?

ધારો કે $\left| \begin{array}{cc} f'(x) & f(x) \\ f''(x) & f'(x) \end{array} \right| = 0$ જ્યાં $f(x)$ એ સતત વિકલનીય વિધેય છે,જેમાં $f'(x) \ne 0$ અને $f(0) = 1$ તથા $f'(0) = 2$ નું પાલન થાય છે,તો સમીકરણ $f(x) = x^2$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી થાય?

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos(2x) & \cos(2x) & \sin(2x) \\ -\cos x & \cos x & -\sin x \\ \sin x & \sin x & \cos x \end{array} \right|$,તો:
$A$. $(-\pi, \pi)$ માં બરાબર ત્રણ બિંદુઓ પર $f'(x) = 0$ થાય છે
$B$. $(-\pi, \pi)$ માં ત્રણથી વધુ બિંદુઓ પર $f'(x) = 0$ થાય છે
$C$. $f(x)$ તેની મહત્તમ કિંમત $x = 0$ પર પ્રાપ્ત કરે છે
$D$. $f(x)$ તેની ન્યૂનતમ કિંમત $x = 0$ પર પ્રાપ્ત કરે છે

ધારો કે $A=\begin{bmatrix} -1 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ અને $C=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ છે. જો $a, b$ અને $c$ અનુક્રમે $A, B$ અને $C$ ના શ્રેણિકોના નિશ્ચાયક (Rank) દર્શાવતા હોય, તો આ સંખ્યાઓનો સાચો ક્રમ કયો છે?