જો બિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ સમરેખ હોય,તો શ્રેણિક $\begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix}$ નો ક્રમાંક (rank) હંમેશા કોના કરતા ઓછો હશે?

જો ${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & b & b \\ a & x & b \\ a & a & x \end{array}} \right|$ અને ${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & b \\ a & x \end{array}} \right|$ આપેલ નિશ્ચાયકો હોય,તો:

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 - x & a + x & b + x \\ x - a & x^2 - x & c + x \\ x - b & x - c & 0 \end{array} \right|$ હોય,તો:

જો સદિશો $\vec{\alpha}=\hat{i}+a \hat{j}+a^{2} \hat{k}$, $\vec{\beta}=\hat{i}+b \hat{j}+b^{2} \hat{k}$, અને $\vec{\gamma}=\hat{i}+c \hat{j}+c^{2} \hat{k}$ એ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય અને $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \\ b & b^{2} & 1+b^{3} \\ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}\right|=0$ હોય, તો $abc$ ની કિંમત શોધો.

$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin^2 x & -2 + \cos^2 x & \cos 2x \\ 2 + \sin^2 x & \cos^2 x & \cos 2x \\ \sin^2 x & \cos^2 x & 1 + \cos 2x \end{array} \right|, x \in [0, \pi]$. તો $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $.....$ છે.

શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 8\end{array}\right]$ નો નિશ્ચાયક (Rank) શોધો.