શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 8\end{array}\right]$ નો નિશ્ચાયક (Rank) શોધો.

ધારો કે $A=\begin{bmatrix} -1 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ અને $C=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ છે. જો $a, b$ અને $c$ અનુક્રમે $A, B$ અને $C$ ના શ્રેણિકોના નિશ્ચાયક (Rank) દર્શાવતા હોય, તો આ સંખ્યાઓનો સાચો ક્રમ કયો છે?

જો $A = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}$ જ્યાં $a = 7^x$,$b = 7^{7^x}$,$c = 7^{7^{7^x}}$ હોય,તો $\int |A| \, dx$ (જ્યાં $|A|$ એ શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક છે) ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3+x & x+1 & x-2 \\ 2x^3+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ x^3+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{array} \right|$ હોય, તો $\frac{d}{dx}(f(x))$ ની કિંમત શોધો.

જો $y = \sin(mx)$ હોય,તો $\left| \begin{array}{ccc} y & y_1 & y_2 \\ y_3 & y_4 & y_5 \\ y_6 & y_7 & y_8 \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય (જ્યાં $y$ ના સબસ્ક્રિપ્ટ વિકલનનો ક્રમ દર્શાવે છે) શું છે?

જો ${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & b & b \\ a & x & b \\ a & a & x \end{array}} \right|$ અને ${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & b \\ a & x \end{array}} \right|$ આપેલ નિશ્ચાયકો હોય,તો: