उन गैर-सर्वांगसम पूर्णांक-भुजा वाले त्रिभुजों की संख्या क्या है जिनकी भुजाएँ समुच्चय $\{10, 11, 12, \ldots, 22\}$ से संबंधित हैं?

मान लीजिए $T_n$ एक $n$-भुजा वाले नियमित बहुभुज के शीर्षों को जोड़कर बनने वाले सभी संभावित त्रिभुजों की संख्या है। यदि $T_{n+1} - T_n = 10$ है,तो $n$ का मान क्या है?

$20$ बिंदुओं में से,$4$ बिंदुओं को छोड़कर कोई भी तीन बिंदु संरेख (collinear) नहीं हैं। इन बिंदुओं को जोड़ने से कितनी रेखाएँ बनाई जा सकती हैं?

यदि एक नियमित बहुभुज में विकर्णों की संख्या $54$ है,तो इस बहुभुज की भुजाओं की संख्या क्या है?

$2$ ढाल वाली रेखा $L_1$ और $\frac{1}{2}$ ढाल वाली रेखा $L_2$ मूल बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। प्रथम चतुर्थांश में,$P_1, P_2, \ldots, P_{12}$ रेखा $L_1$ पर $12$ बिंदु हैं और $Q_1, Q_2, \ldots, Q_9$ रेखा $L_2$ पर $9$ बिंदु हैं। तो $22$ बिंदुओं $(O, P_1, P_2, \ldots, P_{12}, Q_1, Q_2, \ldots, Q_9)$ में से तीन बिंदुओं का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की कुल संख्या क्या है?

एक समतल में $10$ बिंदु हैं,जिनमें से $4$ को छोड़कर कोई भी तीन बिंदु संरेख नहीं हैं। तो,इन दस बिंदुओं में से किन्हीं तीन बिंदुओं को जोड़कर बनाए जा सकने वाले अलग-अलग त्रिभुजों की संख्या ज्ञात कीजिए,ताकि प्रत्येक त्रिभुज का कम से कम एक शीर्ष दिए गए $4$ संरेख बिंदुओं में से हो।