$0, 1, 2, 5, 9$ अंकों का उपयोग करके $5000$ से बड़ी और $9000$ से छोटी ऐसी कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं जो $3$ से विभाज्य हों, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है?

एक संख्या को पैलिंड्रोम कहा जाता है यदि वह पीछे से और आगे से समान पढ़ी जाती है। उदाहरण के लिए,$285582$ एक छह अंकों की पैलिंड्रोम संख्या है। $55$ से विभाज्य छह अंकों की पैलिंड्रोम संख्याओं की संख्या ...... है।

$n$ समरूप वस्तुओं और $k$ भिन्न पात्रों के संबंध में निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$i.$ $n$ समरूप वस्तुओं को $k$ भिन्न पात्रों में $(k \leq n)$ इस प्रकार रखने के तरीकों की संख्या कि कोई भी पात्र खाली न रहे, ${}^{n-1}C_{k-1}$ है।
$ii.$ एक धनात्मक पूर्णांक $n$ को $k$ धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में लिखने के तरीकों की संख्या ${}^{n-1}C_{k-1}$ है।
$iii.$ $n$ समरूप वस्तुओं को $k$ भिन्न पात्रों में इस प्रकार रखने के तरीकों की संख्या कि कम से कम एक पात्र खाली न हो, ${}^{n-1}C_{k-1}$ है।
$iv.$ ${}^nC_k - {}^{n-1}C_k = {}^{n-1}C_{k-1}$.
उपरोक्त में से कौन से कथन सत्य हैं?

$^{29}C_5 + \sum_{r=0}^{4} {^{(33-r)}C_4} =$

$1, 2, 3, 4, 5, 7$ और $9$ अंकों का उपयोग करके बनने वाली $11$ की गुणज $7$ अंकों की संख्याओं की कुल संख्या क्या है?

समीकरण $xyz=30$ के सभी संभावित धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या क्या है?