$x^3+y^3=65$ નું સમાધાન કરતા પૂર્ણાંકોની ક્રમિત જોડીઓ $(x, y)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

પૂર્ણાંક $a \in [-5, 30]$ પસંદ કરવાની સંભાવના શોધો જેથી તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $x^{2}+2(a+4)x-5a+64 > 0$ થાય.

$5$ ઘાતવાળું બહુપદી સમીકરણ જેના બીજ એ $x^5-2x^4+3x^3-4x^2+5x-6=0$ ના બીજને $-2$ જેટલા સ્થાનાંતરિત કરવાથી મળે છે,તે કયું છે?

ધારો કે $\alpha, \beta (\alpha > \beta)$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - x - 4 = 0$ ના બીજ છે. જો $P_{n} = \alpha^{n} - \beta^{n}, n \in N$ હોય,તો $\frac{P_{15} P_{16} - P_{14} P_{16} - P_{15}^{2} + P_{14} P_{15}}{P_{13} P_{14}}$ ની કિંમત $......$ છે.

જો $x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right)$ હોય,તો $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x^2 - x + p = 0$ ના બીજ છે અને $\gamma, \delta$ એ સમીકરણ $x^2 - 4x + q = 0$ ના બીજ છે, જ્યાં $p, q \in Z$. જો $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી ($G$.$P$.) માં હોય, તો $|p + q|$ ની કિંમત શોધો: