समीकरण $e^{x-1} + \log x + x - 2 = 0$, जहाँ $x > 0$ है, के वास्तविक मूलों की संख्या क्या है?

$f(4)-f(3)$ का मान क्या है?

फलन $f:(-\infty, \infty) \rightarrow(-\infty, \infty)$ पर विचार करें,जो $f(x)=\frac{x^2-a x+1}{x^2+a x+1}, 0 < a < 2$ द्वारा परिभाषित है।
$1.$ निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $(2+a)^2 f^{\prime \prime}(1)+(2-a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(B)$ $(2-a)^2 f^{\prime}(1)-(2+a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(C)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=(2-a)^2$
$(D)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=-(2+a)^2$
$2.$ निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर घट रहा है और $x=1$ पर स्थानीय न्यूनतम है
$(B)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर बढ़ रहा है और $x=1$ पर स्थानीय अधिकतम है
$(C)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर बढ़ रहा है लेकिन $x=1$ पर न तो स्थानीय अधिकतम और न ही स्थानीय न्यूनतम है
$(D)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर घट रहा है लेकिन $x=1$ पर न तो स्थानीय अधिकतम और न ही स्थानीय न्यूनतम है
$3.$ मान लीजिए $g(x)=\int_0^{e^x} \frac{f^{\prime}(t)}{1+t^2} d t$ है। निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ पर धनात्मक और $(0, \infty)$ पर ऋणात्मक है
$(B)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ पर ऋणात्मक और $(0, \infty)$ पर धनात्मक है
$(C)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ और $(0, \infty)$ दोनों पर अपना चिह्न बदलता है
$(D)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ पर अपना चिह्न नहीं बदलता है
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

दो फलन $f$ और $g$ के $x = 0$ पर प्रथम और द्वितीय अवकलज विद्यमान हैं और वे निम्नलिखित संबंधों को संतुष्ट करते हैं: $f(0) = \frac{2}{g(0)}$,$f'(0) = 2g'(0) = 4g(0)$,$g''(0) = 5f''(0) = 6f(0) = 3$. तो:

$\mathop {Lim}\limits_{\lambda \to 0} \,{\left( {\int\limits_0^1 {{{(1 + x)}^\lambda }dx} } \right)^{\frac{1}{\lambda }}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f$ और $g$ $R$ पर दो बार अवकलनीय फलन हैं ताकि
$f^{\prime \prime}(x)=g^{\prime \prime}(x)+6 x$
$f^{\prime}(1)=4, g^{\prime}(1)=3$
$f(2)=12, g(2)=4$
तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?