સમીકરણ $e^{x-1} + \log x + x - 2 = 0$, જ્યાં $x > 0$ છે, તેના વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f(x) = x^{13} + x^{11} + x^{9} + x^{7} + x^{5} + x^{3} + x + 12$. તો

ધારો કે $f:(-2,2) \rightarrow \mathbb{R}$ એ $f(x) = \begin{cases} x[x] & , -2 < x < 0 \\ (x-1)[x] & , 0 \leq x < 2 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે. જો $m$ અને $n$ એ $(-2,2)$ માં એવા બિંદુઓની સંખ્યા હોય જ્યાં $y = |f(x)|$ અસતત અને વિકલનીય ન હોય,તો $m + n$ ની કિંમત $...........$ થાય.

વિધેય $f(x)$ ના નીચે મુજબના ગુણધર્મો આપેલ છે:
$(i)$ $f(x)$ સતત છે અને તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી અને $f'(4) = 0$.
$(iii)$ $(-5, 12)$ એ $f(x)$ ના આલેખ પરનું એક બિંદુ છે.
$(iv)$ $f''(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી,પરંતુ બાકીના દરેક જગ્યાએ $f''(x)$ ઋણ છે.
$(v)$ $f'(x)$ ના ચિહ્નો નીચે મુજબની સંખ્યા રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે:
$f'(x)$ એ $x < -5$ માટે ધન છે,$-5 < x < 2$ માટે ઋણ છે,$2 < x < 4$ માટે ધન છે,અને $x > 4$ માટે ઋણ છે.
$y = f(x)$ ના સંભવિત આલેખ પર,આપણી પાસે છે:

ધારો કે $f, g: R \rightarrow R$ એ બે વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતા વિધેયો છે જે $f(x)=\begin{cases} -|x+3| & , x < 0 \\ e^{x} & , x \geq 0 \end{cases}$ અને $g(x)=\begin{cases} x^{2}+k_{1} x & , x < 0 \\ 4 x+k_{2} & , x \geq 0 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $k_{1}$ અને $k_{2}$ વાસ્તવિક અચળાંકો છે. જો $(g \circ f)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય હોય,તો $(g \circ f)(-4)+(g \circ f)(4)$ ની કિંમત શોધો.

List-$I$ માં આપેલા દરેક વિધેયને List-$II$ માં આપેલા તેના વિકલિત સાથે જોડો.

List-$I$	List-$II$
$(A) \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$	$(I) \cos x-\sin x$
$(B) \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$	$(II) \frac{-1}{1+x^2}$
$(C) e^{\log (\sin x+\cos x)}$	$(III) \frac{2}{1+x^2}$
$(D) \sqrt{1-\sin 2 x} \text{ માટે } (0 < x < \frac{\pi}{4})$	$(IV) \cos x+\sin x$
	$(V) -\sin x-\cos x$

સાચી જોડ પસંદ કરો: