$2, 3, 4, 0, 5, 6, 7, 8$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવી છ-અંકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની સંખ્યા કેટલી છે? (અંકોનું પુનરાવર્તન કરી શકાય છે)

જો $^{56}P_{r + 6} : ^{54}P_{r + 3} = 30800 : 1$ હોય,તો $r = $

$INVOLUTE$ શબ્દના મૂળાક્ષરોમાંથી $3$ સ્વરો અને $2$ વ્યંજનો ધરાવતા અર્થપૂર્ણ કે અર્થહીન કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય?

$A, B, C, D, E, F, G, H, I, J$ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને $10$ લંબાઈના શબ્દો બનાવવામાં આવે છે. ધારો કે $x$ એવા શબ્દોની સંખ્યા છે જેમાં કોઈ અક્ષરનું પુનરાવર્તન થતું નથી; અને $y$ એવા શબ્દોની સંખ્યા છે જેમાં બરાબર એક અક્ષરનું બે વાર પુનરાવર્તન થાય છે અને અન્ય કોઈ અક્ષરનું પુનરાવર્તન થતું નથી. તો,$\frac{y}{9x} =$

$INDEPENDENCE$ શબ્દના અક્ષરોની એવી કેટલી ગોઠવણીઓ શક્ય છે જેમાં બધા જ સ્વરો હંમેશા સાથે આવે?

$5$ છોકરીઓ અને $3$ છોકરાઓને એક હરોળમાં એવી રીતે બેસાડવાના છે કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન હોય,તો તે માટેની કુલ રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?