समीकरण ln(ln x) = log_x e के हलों की संख्या क | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $\ln(\ln x) = \log_x e$गुणधर्म $\log_x e = \frac{1}{\ln x}$ का उपयोग करने पर,समीकरण $\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}$ हो जाता है।मान

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$1$

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(B) दिया गया समीकरण: $\ln(\ln x) = \log_x e$गुणधर्म $\log_x e = \frac{1}{\ln x}$ का उपयोग करने पर,समीकरण $\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}$ हो जाता है।माना $\ln x = t$ है। $\ln x$ को परिभाषित होने के लिए $x > 0$ होना चाहिए। $\ln(\ln x)$ को परिभाषित होने के लिए $\ln x > 0$ होना चाहिए,अतः $x > 1$। साथ ही,$\log_x e$ को परिभाषित होने के लिए $x > 0$ और $x 
eq 1$ होना चाहिए।$t = \ln x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\ln t = \frac{1}{t}$ प्राप्त होता है,या $t \ln t = 1$।माना $f(t) = t \ln t$ है। हमें $t > 0$ के लिए $f(t) = 1$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।$f'(t) = \ln t + 1$ है। $f'(t) = 0$ रखने पर $t = 1/e$ प्राप्त होता है।$t = 1/e$ पर,$f(1/e) = (1/e) \ln(1/e) = -1/e \approx -0.368$ है।जैसे $t 	o 0^+$,$f(t) 	o 0$ होता है। जैसे $t 	o \infty$,$f(t) 	o \infty$ होता है।चूंकि $f(t)$ अंतराल $t > 1/e$ के लिए निरंतर और वर्धमान फलन है,और $f(1) = 0  1$ है,इसलिए 'इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम' के अनुसार,अंतराल $(1, e)$ में $t$ का केवल एक ही हल मौजूद है।चूंकि $t = \ln x$ एक एकैकी (one-to-one) फलन है,इसलिए $x$ का केवल एक ही हल प्राप्त होता है।

समीकरण $\ln(\ln x) = \log_x e$ के हलों की संख्या क्या है?

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मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^3 + 3x^2 - 1 = 0$ के दो भिन्न मूल हैं। वह समीकरण जिसका मूल $(\alpha \beta)$ है,वह किसके बराबर है?

दिए गए दो समीकरणों को हल करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
$I.$ $x^{2}-7 \sqrt{3} x+35 \sqrt{15}=5 \sqrt{5} x$
$II.$ $y^{2}-5 \sqrt{5} y+30=0$

यदि समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों का योग उनके वर्गों के योग के बराबर है,तो:

दिए गए दो समीकरणों को हल करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
$I.$ $\sqrt{784} x + 1234 = 1486$
$II.$ $\sqrt{1089} y + 2081 = 2345$

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