$9$ વ્યક્તિઓને ત્રણ સમાન જૂથોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$4$ સરનામાંવાળા પરબિડીયાઓ અને $4$ સંબંધિત પત્રો છે. કોઈ પણ પત્ર તેના યોગ્ય પરબિડીયામાં ન જાય તેની સંભાવના કેટલી છે?

ત્રણ પત્રો,જેમાંથી દરેકને એક પરબિડીયું અનુરૂપ છે,તેને યાદચ્છિક રીતે પરબિડીયાઓમાં મૂકવામાં આવે છે. બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં ન મૂકાય તેની સંભાવના કેટલી છે?

એક સંગીત વર્ગમાં પાંચ વિદ્યાર્થીઓ $S_1, S_2, S_3, S_4$ અને $S_5$ છે અને તેમના માટે હારમાં પાંચ બેઠકો $R_1, R_2, R_3, R_4$ અને $R_5$ ગોઠવેલી છે,જ્યાં શરૂઆતમાં બેઠક $R_i$ વિદ્યાર્થી $S_i$ ને ફાળવવામાં આવી છે,$i = 1, 2, 3, 4, 5$. પરંતુ,પરીક્ષાના દિવસે,પાંચ વિદ્યાર્થીઓને યાદચ્છિક રીતે પાંચ બેઠકો ફાળવવામાં આવે છે.
$(1)$ પરીક્ષાના દિવસે,વિદ્યાર્થી $S_1$ ને અગાઉ ફાળવેલી બેઠક $R_1$ મળે અને બાકીના વિદ્યાર્થીઓમાંથી કોઈને પણ તેમને અગાઉ ફાળવેલી બેઠક ન મળે તેની સંભાવના છે
$(A)$ $\frac{3}{40}$ $(B)$ $\frac{1}{8}$ $(C)$ $\frac{7}{40}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$
$(2)$ $i = 1, 2, 3, 4$ માટે,ધારો કે $T_i$ એ ઘટના દર્શાવે છે કે વિદ્યાર્થીઓ $S_i$ અને $S_{i+1}$ પરીક્ષાના દિવસે એકબીજાની બાજુમાં બેસતા નથી. તો,ઘટના $T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4$ ની સંભાવના છે
$(A)$ $\frac{1}{15}$ $(B)$ $\frac{1}{10}$ $(C)$ $\frac{7}{60}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$

એક વ્યક્તિ $6$ મિત્રોને પત્રો લખે છે અને અનુરૂપ પરબિડીયાઓ પર સરનામાં લખે છે. પત્રોને પરબિડીયાઓમાં કેટલી રીતે મૂકી શકાય કે જેથી ઓછામાં ઓછા બે પત્રો ખોટા પરબિડીયામાં હોય?
નોંધ : $D_n = n! \left( \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^i}{i!} \right)$

જુદા જુદા રંગના ચાર દડા અને તે જ રંગના ચાર બોક્સ છે. દડાઓને દરેક બોક્સમાં એક એવી રીતે મૂકવાના છે કે જેથી કોઈ પણ દડો તેના પોતાના રંગના બોક્સમાં ન જાય,તો આ માટેની કુલ રીતો કેટલી છે?