$9$ व्यक्तियों को तीन समान समूहों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या है

$n$ पत्र और $n$ पते लिखे हुए लिफाफे हैं। इस बात की प्रायिकता कि सभी पत्र सही लिफाफे में न रखे जाएं,है:

$52$ ताश के पत्तों के एक पैकेट को चार समान समूहों में कितने तरीकों से विभाजित किया जा सकता है?

एक संगीत कक्षा में पाँच छात्र $S_1, S_2, S_3, S_4$ और $S_5$ हैं और उनके लिए एक पंक्ति में पाँच सीटें $R_1, R_2, R_3, R_4$ और $R_5$ व्यवस्थित हैं,जहाँ शुरू में सीट $R_i$ छात्र $S_i$ को आवंटित की गई है,$i = 1, 2, 3, 4, 5$। लेकिन,परीक्षा के दिन,पाँच छात्रों को यादृच्छिक रूप से पाँच सीटें आवंटित की जाती हैं।
$(1)$ परीक्षा के दिन,इस बात की प्रायिकता कि छात्र $S_1$ को पहले से आवंटित सीट $R_1$ मिले,और शेष छात्रों में से किसी को भी उसे पहले से आवंटित सीट न मिले,है
$(A)$ $\frac{3}{40}$ $(B)$ $\frac{1}{8}$ $(C)$ $\frac{7}{40}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$
$(2)$ $i = 1, 2, 3, 4$ के लिए,मान लीजिए $T_i$ वह घटना है कि छात्र $S_i$ और $S_{i+1}$ परीक्षा के दिन एक-दूसरे के बगल में नहीं बैठते हैं। तो,घटना $T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4$ की प्रायिकता है
$(A)$ $\frac{1}{15}$ $(B)$ $\frac{1}{10}$ $(C)$ $\frac{7}{60}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$

$3$ दर्जन फलों (कोई भी दो फल समान नहीं हैं) को $9$ व्यक्तियों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या क्या है कि प्रत्येक को समान संख्या में फल मिलें?

यदि $6$ पत्र और $6$ संबंधित लिफाफे हैं,तो सभी पत्रों को गलत लिफाफों में कितने तरीकों से रखा जा सकता है?