$8$ पुरुषों और $4$ महिलाओं को एक गोलाकार मेज के चारों ओर इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्या है कि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न बैठें?

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin^2 x}}{{\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos x}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lambda$ के भिन्न वास्तविक मानों की संख्या,जिसके लिए सदिश $-\lambda^2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}-\lambda^2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}-\lambda^2 \hat{k}$ समतलीय हैं,है

$S$ और $T$ एक दीर्घवृत्त की नाभियाँ हैं और $B$ लघु अक्ष का एक अंतिम बिंदु है। यदि $\triangle STB$ एक समबाहु त्रिभुज है, तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता क्या है?

यदि $a \neq 0$ और रेखा $2bx + 3cy + 4d = 0$ परवलयों $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 4ay$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर गुजरती है,तो:

एक स्टील मीटर स्केल को इस प्रकार अंकित किया जाना है कि मिलीमीटर अंतराल एक निश्चित तापमान पर लगभग $5 \times 10^{-5} \ m$ के भीतर सटीक रहें। अंकन के दौरान अनुमेय अधिकतम तापमान भिन्नता क्या है ($^{\circ} C$ में)? (स्टील का रेखीय प्रसार गुणांक $= 10 \times 10^{-6} \ K^{-1}$)