समुच्चय $\{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ से $G.P.$ में $3$ संख्याएँ चुनने के तरीकों की संख्या है

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2-3x+a=0$ के मूल हैं और $\gamma, \delta$ समीकरण $x^2-12x+b=0$ के मूल हैं और $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ इसी क्रम में $r>1$ के सार्व अनुपात के साथ एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ बनाते हैं,तो $a+b=$

यदि $1+\cos x+\cos ^2 x+\cos ^3 x+\ldots \text{ to } \infty = 4+2 \sqrt{3}$ है,तो $x=$

एक निर्माता का अनुमान है कि एक मशीन,जिसकी लागत $Rs. 15625$ है,का मूल्य हर साल $20\%$ की दर से कम हो जाएगा। $5$ वर्षों के अंत में अनुमानित मूल्य ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a, b, c, d$ और $p$ कोई शून्येतर भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं,जैसे कि $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2} - 2(ab+bc+cd) p + (b^{2}+c^{2}+d^{2}) = 0$ है। तो:

मान लीजिए कि धनात्मक संख्याएँ $a_1, a_2, a_3, a_4$ और $a_5$ एक $G$.$P$. में हैं। उनका माध्य और प्रसरण क्रमशः $\frac{31}{10}$ और $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ सह-अभाज्य हैं। यदि उनके व्युत्क्रमों का माध्य $\frac{31}{40}$ है और $a_3+a_4+a_5=14$ है,तो $m+n$ का मान $.........$ है।