a અને L ના મૂલ્યો સાથેનો વિકલ્પ(ઓ) જે નીચેના | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $f(t) = e^t(\sin^6 at + \cos^4 at)$. આપણે જોઈએ છીએ કે $a=2$ અને $a=4$ માટે,વિધેય $f(t)$ એ $f(t+\pi) = e^{t+\pi}(\sin^6 a(t+\pi) + \cos^4 a

Vedclass · Accepted Answer

$(A, C)$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $f(t) = e^t(\sin^6 at + \cos^4 at)$. આપણે જોઈએ છીએ કે $a=2$ અને $a=4$ માટે,વિધેય $f(t)$ એ $f(t+\pi) = e^{t+\pi}(\sin^6 a(t+\pi) + \cos^4 a(t+\pi)) = e^{\pi} e^t(\sin^6 at + \cos^4 at) = e^{\pi} f(t)$ સંતોષે છે,કારણ કે બેકી પૂર્ણાંક $a$ માટે $\sin(a(t+\pi)) = \sin(at)$ અને $\cos(a(t+\pi)) = \cos(at)$ થાય છે.ધારો કે $I_k = \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} f(t) dt$. તો $I_{k+1} = \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(t) dt$. $t = u + \pi$ આદેશ લેતા,આપણને $I_{k+1} = \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} f(u+\pi) du = e^{\pi} \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} f(u) du = e^{\pi} I_k$ મળે છે.આમ,$I_1 = A$,$I_2 = e^{\pi} A$,$I_3 = e^{2\pi} A$,અને $I_4 = e^{3\pi} A$,જ્યાં $A = \int_0^{\pi} f(t) dt$ છે.અંશ $\int_0^{4\pi} f(t) dt = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = A(1 + e^{\pi} + e^{2\pi} + e^{3\pi}) = A \frac{e^{4\pi}-1}{e^{\pi}-1}$ છે.તેથી,$L = \frac{A \frac{e^{4\pi}-1}{e^{\pi}-1}}{A} = \frac{e^{4\pi}-1}{e^{\pi}-1}$.આ $a=2$ અને $a=4$ બંને માટે સાચું છે. તેથી,વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.

$a$ અને $L$ ના મૂલ્યો સાથેનો વિકલ્પ(ઓ) જે નીચેના સમીકરણને સંતોષે છે તે છે: $\frac{\int_0^{4 \pi} e^t(\sin^6 at + \cos^4 at) dt}{\int_0^{\pi} e^t(\sin^6 at + \cos^4 at) dt} = L$.

Similar Questions

જો $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય અને $[x]$ એ $x$ થી વધતો ન હોય તેવો મહત્તમ પૂર્ણાંક હોય,તો $\int_0^n {\{x - [x]\} \,dx}$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-1}^{\frac{3}{2}}|x \sin (\pi x)| d x=$

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ માટે,$\int_{0}^{\sin^{2}x} \sin^{-1}(\sqrt{t}) \, dt + \int_{0}^{\cos^{2}x} \cos^{-1}(\sqrt{t}) \, dt$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin^{2/3} x}{\sin^{2/3} x + \cos^{2/3} x} dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $0 < x < \frac{\pi}{2}$ માટે $f(x) = \int\limits_0^\pi {\frac{t \sin t \, dt}{\sqrt{1 + \tan^2 x \sin^2 t}}}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module