int_{-1}^{frac{3}{2}}|x sin (pi x)| d x= | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_{-1}^{3/2} |x \sin(\pi x)| dx$. $x \in [-1, 0]$ અને $x \in [1, 3/2]$ માટે $x \sin(\pi x) \ge 0$ હોવાથી અને $x \in [0, 1]$ માટે $

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3}{\pi}+\frac{1}{\pi^2}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_{-1}^{3/2} |x \sin(\pi x)| dx$. $x \in [-1, 0]$ અને $x \in [1, 3/2]$ માટે $x \sin(\pi x) \ge 0$ હોવાથી અને $x \in [0, 1]$ માટે $x \sin(\pi x) \le 0$ હોવાથી, આપણે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ: $I = \int_{-1}^{0} -x \sin(\pi x) dx + \int_{0}^{1} x \sin(\pi x) dx + \int_{1}^{3/2} -x \sin(\pi x) dx$. યુગ્મ વિધેય માટે $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા, $f(x) = x \sin(\pi x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે. તેથી, $I = 2 \int_{0}^{1} x \sin(\pi x) dx - \int_{1}^{3/2} x \sin(\pi x) dx$. ખંડશઃ સંકલન $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા: $\int x \sin(\pi x) dx = -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2}$. પ્રથમ ભાગની ગણતરી: $2 \left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2} \right]_{0}^{1} = 2 \left[ (\frac{1}{\pi} + 0) - (0 + 0) \right] = \frac{2}{\pi}$. બીજા ભાગની ગણતરી: $-\left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2} \right]_{1}^{3/2} = -\left[ (0 - \frac{1}{\pi^2}) - (\frac{1}{\pi} + 0) \right] = \frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{\pi}$. બંનેનો સરવાળો કરતા: $I = \frac{2}{\pi} + \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi^2} = \frac{3}{\pi} + \frac{1}{\pi^2}$.

$\int_{-1}^{\frac{3}{2}}|x \sin (\pi x)| d x=$

Similar Questions

$\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x=$

$\int_0^{\pi / 2} |\sin t - \cos t| \, dt =$

$\int_{-1}^{3} \left[ \tan^{-1} \left( \frac{x}{x^{2}+1} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{x^{2}+1}{x} \right) \right] dx =$

$\sum \limits_{n=0}^{1947} \frac{1}{2^n+\sqrt{2^{1947}}}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module