मंगल ग्रह के दो चंद्रमा हैं,फोबोस और डीमोस।
$(i)$ फोबोस का आवर्तकाल $7$ घंटे,$39$ मिनट और कक्षीय त्रिज्या $9.4 \times 10^{3} \; km$ है। मंगल का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
$(ii)$ मान लीजिए कि पृथ्वी और मंगल सूर्य के चारों ओर वृत्ताकार कक्षाओं में घूमते हैं,जहाँ मंगल की कक्षा पृथ्वी की कक्षीय त्रिज्या की $1.52$ गुनी है। मंगल का वर्ष कितने दिनों का होता है?

(N/A) भाग $(i)$: केप्लर के तीसरे नियम का उपयोग करते हुए,$T^{2} = \frac{4 \pi^{2}}{G M_{m}} R^{3}$।
मंगल के द्रव्यमान $(M_{m})$ के लिए सूत्र: $M_{m} = \frac{4 \pi^{2} R^{3}}{G T^{2}}$।
यहाँ $T = 7 \text{ घंटे } 39 \text{ मिनट} = 27540 \text{ सेकंड}$ और $R = 9.4 \times 10^{6} \text{ मीटर}$।
$M_{m} = \frac{4 \times (3.14)^{2} \times (9.4 \times 10^{6})^{3}}{6.67 \times 10^{-11} \times (27540)^{2}} \approx 6.48 \times 10^{23} \text{ kg}$।
भाग $(ii)$: सूर्य के चारों ओर ग्रहों की कक्षा के लिए केप्लर का तीसरा नियम: $\frac{T_{M}^{2}}{T_{E}^{2}} = \frac{R_{M}^{3}}{R_{E}^{3}}$।
दिया गया है कि $\frac{R_{M}}{R_{E}} = 1.52$ और $T_{E} = 365 \text{ दिन}$।
$T_{M} = T_{E} \times (1.52)^{3/2} = 365 \times 1.873 \approx 684 \text{ दिन}$।