उन वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु क्या हैं जिनके प्राचलिक समीकरण $x = t^2 + 1, y = 2t$ और $x = 2s, y = \frac{2}{s}$ हैं?

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=\frac{1}{25}$ की नाभियाँ संपाती हैं। तब $b^2$ का मान है

परवलय $y^2 = 4ax$ के शीर्ष $O$ से दो जीवाएँ $OP$ और $OQ$ खींची जाती हैं,और $OP$ तथा $OQ$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त $R$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $\theta_1, \theta_2$ और $\phi$ क्रमशः परवलय पर $P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाओं और $OR$ द्वारा अक्ष के साथ बनाए गए कोण हैं,तो $\cot \theta_1 + \cot \theta_2$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक दीर्घवृत्त,अतिपरवलय $2x^2 - 2y^2 = 1$ को लंबकोणीय रूप से काटता है। दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता,अतिपरवलय की उत्केंद्रता की व्युत्क्रम है। यदि दीर्घवृत्त के अक्ष निर्देशांक अक्षों के अनुदिश हैं,तो:
$(A)$ दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 2y^2 = 2$ है
$(B)$ दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm 1, 0)$ हैं
$(C)$ दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 2y^2 = 4$ है
$(D)$ दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm \sqrt{2}, 0)$ हैं

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की नाभियाँ संपाती हैं,तो $b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।