એક ઘટના બનવાની સંભાવના $\frac{2}{5}$ છે અને બીજી ઘટના ન બનવાની સંભાવના $\frac{3}{10}$ છે. જો આ ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોય,તો બેમાંથી માત્ર એક જ ઘટના બને તેની સંભાવના કેટલી?

$2$ વિમાનો $I$ અને $II$ ક્રમશઃ લક્ષ્ય પર બોમ્બ ફેંકે છે. $I$ અને $II$ દ્વારા લક્ષ્યને સફળતાપૂર્વક ભેદવાની સંભાવના અનુક્રમે $0.3$ અને $0.2$ છે. બીજું વિમાન ત્યારે જ બોમ્બ ફેંકશે જો પ્રથમ વિમાન લક્ષ્યને ચૂકી જાય. બીજા વિમાન દ્વારા લક્ષ્ય ભેદાય તેની સંભાવના કેટલી છે?

એક ટોપલીમાં $5$ સફરજન અને $7$ નારંગી છે અને બીજી ટોપલીમાં $4$ સફરજન અને $8$ નારંગી છે. દરેક ટોપલીમાંથી એક ફળ પસંદ કરવામાં આવે છે. બંને ફળો સફરજન હોય અથવા બંને નારંગી હોય તેની સંભાવના શોધો.

ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $E_1, E_2$ અને $E_3$ માટે,માત્ર $E_1$ બને તેની સંભાવના $\alpha$ છે,માત્ર $E_2$ બને તેની સંભાવના $\beta$ છે અને માત્ર $E_3$ બને તેની સંભાવના $\gamma$ છે. ધારો કે $E_1, E_2$ અથવા $E_3$ માંથી કોઈ પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $p$ એ સમીકરણો $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ અને $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ નું સમાધાન કરે છે. બધી આપેલી સંભાવનાઓ અંતરાલ $(0, 1)$ માં છે તેમ માની લો. તો $\frac{\text{Probability of occurrence of } E_1}{\text{Probability of occurrence of } E_3} = $

જો $A$ અને $B$ બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ એવી રીતે હોય કે $P(A) > 0.5$,$P(B) > 0.5$,$P(A \cap \bar{B}) = \frac{3}{25}$,અને $P(\bar{A} \cap B) = \frac{8}{25}$,તો $P(A \cap B)$ શોધો.

જો $A$ અને $B$ એક યાદચ્છિક પ્રયોગની નિરપેક્ષ ઘટનાઓ હોય કે જેથી $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ અને $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{1}{3}$ હોય,તો $P(A)$ ની કિંમત શોધો. (અહીં,$\bar{E}$ એ ઘટના $E$ ની પૂરક ઘટના છે)