एक G.P. के तीन क्रमागत पदों का गुणनफल 512 है। | vedclass

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Question

(D) माना कि $G.P.$ के तीन क्रमागत पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।दिया गया है कि पदों का गुणनफल $512$ है:$\frac{a}{r} 	imes a 	imes ar = 512 \Rightarrow

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$28$

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(D) माना कि $G.P.$ के तीन क्रमागत पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।दिया गया है कि पदों का गुणनफल $512$ है:$\frac{a}{r} 	imes a 	imes ar = 512 \Rightarrow a^3 = 512 \Rightarrow a = 8$.प्रश्न के अनुसार,यदि पहले और दूसरे पद में $4$ जोड़ा जाता है,तो नए पद $\frac{8}{r} + 4, 8 + 4, 8r$ (अर्थात $\frac{8}{r} + 4, 12, 8r$) एक $A.P.$ बनाते हैं।$A.P.$ में,मध्य पद अन्य दो पदों का समांतर माध्य होता है:$2 	imes 12 = (\frac{8}{r} + 4) + 8r$$24 = \frac{8}{r} + 4 + 8r$$20 = \frac{8}{r} + 8r$$4$ से भाग देने पर: $5 = \frac{2}{r} + 2r$$2r^2 - 5r + 2 = 0$$(2r - 1)(r - 2) = 0$अतः,$r = 2$ या $r = \frac{1}{2}$.यदि $r = 2$ है,तो पद $4, 8, 16$ हैं।यदि $r = \frac{1}{2}$ है,तो पद $16, 8, 4$ हैं।दोनों स्थितियों में,पदों का योग $4 + 8 + 16 = 28$ है।

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यदि दो समांतर श्रेणियों $(A.P.)$ के ${n^{th}}$ पद $3n + 8$ और $7n + 15$ हैं,तो उनके ${12^{th}}$ पदों का अनुपात क्या होगा?

$11^2 + 12^2 + 13^2 + \dots + 20^2 = $

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