फलन f(x) = log_{0.5}(x^4 - 2x^2 + 3) का परिसर | vedclass

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Question

(B) माना $g(x) = x^4 - 2x^2 + 3 = (x^2 - 1)^2 + 2$ है। चूंकि $(x^2 - 1)^2 \geq 0$, $g(x)$ का न्यूनतम मान $2$ ($x^2 = 1$ पर) है और अधिकतम मान $\infty$

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$(-\infty, -1]$

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(B) माना $g(x) = x^4 - 2x^2 + 3 = (x^2 - 1)^2 + 2$ है। चूंकि $(x^2 - 1)^2 \geq 0$, $g(x)$ का न्यूनतम मान $2$ ($x^2 = 1$ पर) है और अधिकतम मान $\infty$ है। अतः, $g(x)$ का परिसर $[2, \infty)$ है। अब, $f(x) = \log_{0.5}(g(x)) = \log_{1/2}(g(x)) = -\log_2(g(x))$ है। चूंकि $g(x) \in [2, \infty)$, इसलिए $\log_2(g(x)) \in [\log_2 2, \log_2 \infty) = [1, \infty)$ होगा। $-1$ से गुणा करने पर, $-\log_2(g(x)) \in (-\infty, -1]$ प्राप्त होता है। अतः, $f(x)$ का परिसर $(-\infty, -1]$ है।

$x$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y = f(x) = x^2$

फलन $f(x) = \log_{0.5}(x^4 - 2x^2 + 3)$ का परिसर (range) है

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