x^{sin x} का (sin x)^{x} के सापेक्ष परिवर्तन | vedclass

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Question

(A) माना $u = x^{\sin x}$ है। दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log u = \sin x \log x$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{1}{u} \frac{

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$\frac{x^{\sin x}\left(\frac{\sin x}{x}+\cos x \cdot \log x\right)}{(\sin x)^x(x \cdot \cot x+\log \sin x)}$

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(A) माना $u = x^{\sin x}$ है। दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log u = \sin x \log x$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \cos x \log x + \sin x \cdot \frac{1}{x} = \cos x \log x + \frac{\sin x}{x}$ है।अतः,$\frac{du}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$ है।माना $v = (\sin x)^x$ है। दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log v = x \log \sin x$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = 1 \cdot \log \sin x + x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \log \sin x + x \cot x$ है।अतः,$\frac{dv}{dx} = (\sin x)^x (x \cot x + \log \sin x)$ है।$u$ का $v$ के सापेक्ष परिवर्तन की दर $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)}{(\sin x)^x (x \cot x + \log \sin x)}$ है।

$x^{\sin x}$ का $(\sin x)^{x}$ के सापेक्ष परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।

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