समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी तत्व के विघटन की दर उस समय उसके द्रव्यमान के समानुपाती होती है। तो वह समय जिसके दौरान $1.5 \text{ g}$ का मूल द्रव्यमान घटकर $0.5 \text{ g}$ हो जाता है,किसके समानुपाती है?

मान लीजिए कि $f$ अंतराल $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ पर परिभाषित एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f(x) > 0$ और $f(x)+\int \limits_0^x f(t) \sqrt{1-\left(\log _e f(t)\right)^2} d t=e, \forall x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ है। तब $\left(6 \log _{ e } f \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^2$ का मान $.............$ है।

रेडियम अपने उपस्थित मात्रा के समानुपाती दर पर विघटित होता है। यदि $1600$ वर्षों में मूल मात्रा का आधा भाग समाप्त हो जाता है,तो $100$ वर्षों में प्रतिशत हानि क्या होगी ($\%$ में)? (दिया गया है: $\log 2 = 0.6931$ और $e^{-0.0433} = 0.9576$)

अवकल समीकरण $y \frac{dy}{dx} + x = k$ का हल . . . . . . दर्शाता है।

$100^{\circ} C$ पर पानी $25^{\circ} C$ के कमरे के तापमान में $15 \text{ मिनट}$ में ठंडा होकर $75^{\circ} C$ हो जाता है। तो $30 \text{ मिनट}$ बाद पानी का तापमान क्या होगा?

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{x}{y} \cdot \frac{x^2+y^2-1}{2(x^2+y^2)+1} = 0$ का हल ज्ञात कीजिए।