एक गोले के भीतर अंकित अधिकतम आयतन वाले शंकु की ऊँचाई और गोले की त्रिज्या का अनुपात क्या है?

किसी फलन के अधिकतम या न्यूनतम होने के लिए आवश्यक शर्त क्या है?

यदि $x=-1$ और $x=2$ फलन $f(x)=\alpha \log |x|+\beta x^2+x$ के चरम बिंदु हैं,तो

माना $f(x) = \frac{\sin \pi x}{x^2}, x > 0$. माना $x_1 < x_2 < x_3 < \ldots < x_n < \ldots$ फलन $f(x)$ के सभी स्थानीय उच्चतम बिंदु हैं और $y_1 < y_2 < y_3 < \ldots < y_n < \ldots$ फलन $f(x)$ के सभी स्थानीय न्यूनतम बिंदु हैं। निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
$(1)$ प्रत्येक $n$ के लिए $|x_n - y_n| > 1$
$(2)$ $x_1 < y_1$
$(3)$ प्रत्येक $n$ के लिए $x_n \in (2n, 2n + \frac{1}{2})$
$(4)$ प्रत्येक $n$ के लिए $x_{n+1} - x_n > 2$

निम्नलिखित आकृति अंतराल $[a, b]$ (जिसमें $0$ शामिल नहीं है) पर एक अवकलनीय फलन $y=f(x)$ का ग्राफ दर्शाती है। मान लीजिए $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ है। तो $y=g(x)$ का संभावित ग्राफ निम्नलिखित में से कौन सा है?

अंतराल $(-4, 4)$ में,फलन $f(x) = \int_{-10}^x (t^4 - 4)e^{-4t} dt$ के पास: