(x-41)^{49}+(x-49)^{41}+(x-2009)^{2009}=0 के | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) = (x-41)^{49} + (x-49)^{41} + (x-2009)^{2009}$.वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम फलन $f(x)$ का अवकलन करते हैं:$f'(x) =

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एक धनात्मक वास्तविक मूल को छोड़कर अवास्तविक

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(B) माना $f(x) = (x-41)^{49} + (x-49)^{41} + (x-2009)^{2009}$.वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए,हम फलन $f(x)$ का अवकलन करते हैं:$f'(x) = 49(x-41)^{48} + 41(x-49)^{40} + 2009(x-2009)^{2008}$.चूंकि घातांक $48$,$40$,और $2008$ सभी सम हैं,प्रत्येक पद $(x-a)^{2n}$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए अ-ऋणात्मक है।विशेष रूप से,$(x-41)^{48} \ge 0$,$(x-49)^{40} \ge 0$,और $(x-2009)^{2008} \ge 0$.चूंकि गुणांक $49$,$41$,और $2009$ धनात्मक हैं,इसलिए सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) \ge 0$ है।इसके अलावा,$f'(x)$ कभी भी शून्य नहीं होता है क्योंकि पद अलग-अलग बिंदुओं $(x=41, 49, 2009)$ पर शून्य होते हैं।अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।एक निरंतर वर्धमान सतत फलन $x$-अक्ष को अधिकतम एक बार काट सकता है।जैसे $x 	o \infty$,$f(x) 	o \infty$,और जैसे $x 	o -\infty$,$f(x) 	o -\infty$.इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,ठीक एक वास्तविक मूल मौजूद है।यह जांचने के लिए कि क्या मूल धनात्मक है,हम $f(0)$ का मान निकालते हैं:$f(0) = (-41)^{49} + (-49)^{41} + (-2009)^{2009} चूंकि $f(0) अतः,ठीक एक धनात्मक वास्तविक मूल है।

$(x-41)^{49}+(x-49)^{41}+(x-2009)^{2009}=0$ के मूल हैं

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