रेखा y-x=1 और वक्र x=y^2 के बीच की न्यूनतम दू | vedclass

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Question

(A) दी गई रेखा $x-y+1=0$ है। वक्र $x=y^2$ है। मान लीजिए वक्र पर एक बिंदु $P(y^2, y)$ है। न्यूनतम दूरी के लिए वक्र के स्पर्शरेखा की ढाल दी गई रेखा की ढ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3 \sqrt{2}}{8}$

Vedclass · Answer

(A) दी गई रेखा $x-y+1=0$ है। वक्र $x=y^2$ है। मान लीजिए वक्र पर एक बिंदु $P(y^2, y)$ है। न्यूनतम दूरी के लिए वक्र के स्पर्शरेखा की ढाल दी गई रेखा की ढाल के बराबर होनी चाहिए। रेखा $x-y+1=0$ की ढाल $m=1$ है। $x=y^2$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dx}{dy} = 2y$ प्राप्त होता है। अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$। $\frac{1}{2y} = 1$ रखने पर,$y = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है। तब $x = y^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$। वक्र पर बिंदु $P(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ है। बिंदु $(x_0, y_0)$ से रेखा $Ax+By+C=0$ की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है। यहाँ,$A=1, B=-1, C=1, x_0=\frac{1}{4}, y_0=\frac{1}{2}$। $d = \frac{|1(\frac{1}{4}) - 1(\frac{1}{2}) + 1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4}|}{\sqrt{2}} = \frac{3/4}{\sqrt{2}} = \frac{3}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{8}$।

रेखा $y-x=1$ और वक्र $x=y^2$ के बीच की न्यूनतम दूरी क्या है?

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