रेखाओं frac{x-1}{0}=frac{y+1}{-1}=frac{z}{1} | vedclass

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Question

(D) पहली रेखा $L_1: \frac{x-1}{0} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{1}$ है। $L_1$ पर एक बिंदु $A(1, -1, 0)$ है और इसका दिशा सदिश $\vec{c} = (0, -1, 1)$ है।द

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

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(D) पहली रेखा $L_1: \frac{x-1}{0} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{1}$ है। $L_1$ पर एक बिंदु $A(1, -1, 0)$ है और इसका दिशा सदिश $\vec{c} = (0, -1, 1)$ है।दूसरी रेखा $L_2$ समतलों $x+y+z+1=0$ और $2x-y+z+3=0$ का प्रतिच्छेदन है।दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x+y+z+1) + (2x-y+z+3) = 3x + 2z + 4 = 0$,अतः $x = \frac{-2z-4}{3}$.$x$ का मान पहले समतल में रखने पर: $\frac{-2z-4}{3} + y + z + 1 = 0 \Rightarrow y = -z - 1 + \frac{2z+4}{3} = \frac{-3z-3+2z+4}{3} = \frac{-z+1}{3}$.अतः,$x = \frac{-2z-4}{3}, y = \frac{-z+1}{3}, z = z$. इसे सममित रूप में लिखने पर: $\frac{x+4/3}{-2/3} = \frac{y-1/3}{-1/3} = \frac{z}{1}$.$L_2$ पर एक बिंदु $B(-\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, 0)$ है और इसका दिशा सदिश $\vec{d} = (-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, 1)$ है।सदिश $\vec{AB} = B - A = (-\frac{7}{3}, \frac{4}{3}, 0)$.क्रॉस गुणनफल $\vec{c} 	imes \vec{d} = (-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3})$.इसका परिमाण $|\vec{c} 	imes \vec{d}| = \frac{2}{\sqrt{3}}$.न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{c} 	imes \vec{d})|}{|\vec{c} 	imes \vec{d}|} = \frac{|\frac{14}{9} - \frac{8}{9}|}{2/\sqrt{3}} = \frac{6/9}{2/\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

रेखाओं $\frac{x-1}{0}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$ और $x+y+z+1=0, 2x-y+z+3=0$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

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