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Question

(A) माना दिया गया योग $S$ है। श्रेणी $S = \sum_{k=0}^{44} \frac{1}{\sin(45^{\circ}+2k) \sin(46^{\circ}+2k)}$ है।$\sin 1^{\circ}$ से गुणा और भाग करने प

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$1$

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(A) माना दिया गया योग $S$ है। श्रेणी $S = \sum_{k=0}^{44} \frac{1}{\sin(45^{\circ}+2k) \sin(46^{\circ}+2k)}$ है।$\sin 1^{\circ}$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} \frac{\sin((46^{\circ}+2k)-(45^{\circ}+2k))}{\sin(45^{\circ}+2k) \sin(46^{\circ}+2k)}$$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} (\cot(45^{\circ}+2k) - \cot(46^{\circ}+2k))$योग का विस्तार करने पर:$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [(\cot 45^{\circ} - \cot 46^{\circ}) + (\cot 47^{\circ} - \cot 48^{\circ}) + \ldots + (\cot 133^{\circ} - \cot 134^{\circ})]$चूंकि $\cot(180^{\circ}-	heta) = -\cot 	heta$,इसलिए $\cot 133^{\circ} = -\cot 47^{\circ}$ और $\cot 134^{\circ} = -\cot 46^{\circ}$ है।इन मानों को रखने पर,पद कट जाते हैं:$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (\cot 45^{\circ}) = \frac{1}{\sin 1^{\circ}}$.दिया गया है $\frac{1}{\sin(n^{\circ})} = \frac{1}{\sin 1^{\circ}}$,अतः $n = 1$।

सबसे छोटा पूर्णांक $n$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\frac{1}{\sin 45^{\circ} \sin 46^{\circ}}+\frac{1}{\sin 47^{\circ} \sin 48^{\circ}}+\ldots+\frac{1}{\sin 133^{\circ} \sin 134^{\circ}}=\frac{1}{\sin \left(n^{\circ}\right)}$ हो।

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$\frac{4 \sin 9^{\circ} \sin 21^{\circ} \sin 39^{\circ} \sin 51^{\circ} \sin 69^{\circ} \sin 81^{\circ}}{\sin 54^{\circ}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$0 \leq x \leq \pi$ के लिए,यदि $81^{\sin ^2 x}+81^{\cos ^2 x}=30$ है,तो $x=$

$x \in [0, 2\pi]$ के लिए $|\sqrt{2 \sin^4 x + 18 \cos^2 x} - \sqrt{2 \cos^4 x + 18 \sin^2 x}| = 1$ को संतुष्ट करने वाले $x$ की संख्या है

यदि $\sum_{r=1}^{13} \left\{ \frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{4} + (r-1) \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{r\pi}{6}\right)} \right\} = a\sqrt{3} + b$,जहाँ $a, b \in \mathbb{Z}$,तो $a^2 + b^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $E = \left( 1 - \frac{\cos 61^\circ}{\cos 1^\circ} \right) \left( 1 - \frac{\cos 62^\circ}{\cos 2^\circ} \right) \dots \left( 1 - \frac{\cos 119^\circ}{\cos 59^\circ} \right)$,तो $E$ का मान ज्ञात कीजिए।

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