सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या n ज्ञात कीजिए जिसक | vedclass

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Question

(A) $(x^2 + x^{-3})^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r (x^2)^{n-r} (x^{-3})^r = ^nC_r x^{2n-5r}$ है।$x$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$x$ के

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$38$

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(A) $(x^2 + x^{-3})^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r (x^2)^{n-r} (x^{-3})^r = ^nC_r x^{2n-5r}$ है।$x$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$x$ के घातांक को $1$ के बराबर रखते हैं:$2n - 5r = 1 \Rightarrow 2n = 5r + 1$.हमें दिया गया है कि गुणांक $^nC_{23}$ है,जिसका अर्थ है कि $r = 23$ या $n-r = 23$ है।स्थिति $1$: यदि $r = 23$ है,तो $2n = 5(23) + 1 = 116 \Rightarrow n = 58$.स्थिति $2$: यदि $n-r = 23$ है,तो $r = n-23$ है। इसे $2n = 5r + 1$ में प्रतिस्थापित करने पर:$2n = 5(n-23) + 1$ $\Rightarrow 2n = 5n - 115 + 1$ $\Rightarrow 3n = 114$ $\Rightarrow n = 38$.$n$ के दो संभावित मानों ($58$ और $38$) में से,सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या $38$ है।

सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या $n$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $(x^2 + \frac{1}{x^3})^n$ के विस्तार में $x$ का गुणांक $^nC_{23}$ है।

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$\left[\frac{(x+1)}{\left(x^{2 / 3}-x^{1 / 3}+1\right)}-\frac{(x-1)}{(x-\sqrt{x})}\right]^{10}$ के विस्तार में $x(x>0, x \neq 1)$ से स्वतंत्र पद ज्ञात कीजिए।

यदि $x > 0$ के लिए ${\left( {\frac{2}{x} + {x^{\log_8 x}}} \right)^6}$ के द्विपद विस्तार में चौथा पद $20 \times 8^7$ है,तो $x$ का एक मान है

$(2x + 1)(2x + 5)(2x + 9)(2x + 13) \cdots (2x + 49)$ के विस्तार में,$x^{12}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

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