जब y(sqrt{3}) = 1 हो,तो x dy - y dx = sqrt{x^ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^2 + y^2} dx$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x}$ प

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$y + \sqrt{x^2 + y^2} = x^2$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $x dy - y dx = \sqrt{x^2 + y^2} dx$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x}$ प्राप्त होता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx + \sqrt{x^2 + v^2x^2}}{x} = v + \sqrt{1 + v^2}$।सरल करने पर,$x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}$।चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int \frac{dx}{x}$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln(v + \sqrt{v^2 + 1}) = \ln|x| + C = \ln|cx|$।अतः,$v + \sqrt{v^2 + 1} = cx$।$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^2}{x^2} + 1} = cx \Rightarrow y + \sqrt{x^2 + y^2} = cx^2$।दिया गया है कि $y(\sqrt{3}) = 1$,इसलिए $1 + \sqrt{3 + 1} = c(\sqrt{3})^2 \Rightarrow 1 + 2 = 3c \Rightarrow c = 1$।अतः,हल $y + \sqrt{x^2 + y^2} = x^2$ है।

जब $y(\sqrt{3}) = 1$ हो,तो $x dy - y dx = \sqrt{x^2 + y^2} dx$ का हल क्या है?

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