समीकरण frac{dy}{dx} = frac{y}{x} left( log fr | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \left( \log \frac{y}{x} + 1 \right)$.यह एक समघात अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{d

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$\log \left( \frac{y}{x} \right) = cx$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \left( \log \frac{y}{x} + 1 \right)$.यह एक समघात अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.इन मानों को समीकरण में रखने पर:$v + x \frac{dv}{dx} = v (\log v + 1)$$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$$x \frac{dv}{dx} = v \log v$चरों को अलग करने पर:$\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int \frac{dv}{v \log v} = \int \frac{dx}{x}$मान लीजिए $u = \log v$,तब $du = \frac{1}{v} dv$. समाकलन इस प्रकार होगा:$\int \frac{du}{u} = \int \frac{dx}{x}$$\log |u| = \log |x| + \log |c|$$\log |\log v| = \log |xc|$$\log v = xc$$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:$\log \left( \frac{y}{x} \right) = cx$.

समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \left( \log \frac{y}{x} + 1 \right)$ का हल है

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दर्शाइए कि अवकल समीकरण $y^{\prime} = \frac{x+y}{x}$ एक समघातीय (homogeneous) समीकरण है और इसका व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

यदि $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ और $y(1) = 1$ है,तो $x$ का वह मान ज्ञात कीजिए जो $y(x) = e$ को संतुष्ट करता है।

अवकल समीकरण $y \frac{dx}{dy} = x(\log_e x - \log_e y + 1)$,$x > 0, y > 0$ का हल वक्र जो बिंदु $(e, 1)$ से गुजरता है,है

अवकल समीकरण $x^2 dy - (xy - y^2) dx = 0$ का व्यापक हल है

निम्नलिखित में से कौन से फलन समघातीय (homogeneous) हैं?

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